Бінарний урок. 11 клас.ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ Питання випадковості та ймовірності в романі М. Булгакова «Майстер і Маргарита»

Мета: ознайомити учнів з основними поняттями теорії ймовірностей: розглянути філософське питання випадковості та ймовірності в романі М. Булгакова «Майстер і Маргарита»; спонукати учнів до свідомого сприймання матеріалу; розви­вати мислення старшокласників, уміння аналізувати, доходити висновків.

На дошці заздалегідь зроблено записи:

Випадковий — той, який стався десь за збігом обставин, відбувся непередбачено, несподівано.

Збіг — випадкове поєднання яких-небудь обставин, подій.

Доля — збіг обставин, напрям життєвого шляху, що ніби не залежать від бажання та волі людини; хід подій життя.

ХІД УРОКУ

І. Вступна частина.

Учитель математики. Сьогодні на уроці ми почне­мо ознайомлення з непростою, але досить цікавою на­укою — теорією ймовірностей. Урок буде незвичайний. Це інтегрований урок математики і зарубіжної літера­тури. Саме цей шкільний предмет допоможе нам у вив­ченні теми.

Учитель літератури. На попередньому уроці ми роз­глядали різні філософські питання, що піднімалися у ро­мані «Майстер і Маргарита». Наша мета — розглянути ще одне досить складне питання — випадковості та ймовір­ності. Спочатку дайте відповідь на такі запитання.

1. Що ми називаємо у житті випадковим!

(Учні висловлюють свої думки. Узагальнюючи їх, до­ходимо висновку: випадковий — той, який з'явився не­передбачено.)

2. Як ви вважаєте, все, що з нами відбувається, є ви­падковим чи ні?

(Відповіді учнів.)

3. Що в романі, на вашу думку, можна вважати ви­падковим?

(Наприклад, зустріч Майстра та Маргарити, смерть Берліоза.)

4. Але чому все сталося саме так, чи могло бути інакше?

(Учні розмірковують, що таке збіг обставин, умов; про те, що могли бути інші обставини, наприклад Мар­гарита могла піти іншою дорогою і не зустріти Майст­ра. Аннушка могла розлити олію в іншому місці — Берліоз не послизнувся б і залишився живим. Доходимо висновку: збіг — випадкове поєднання яких-небудь об­ставин, подій.)

5. Збіг обставин ми частіше називаємо іншим сло­вом. Яким?

(Відповіді учнів; очікуване слово — доля.)

6. За словником, доля — збіг обставин, напрям життєвого шляху, що ніби не залежать від волі людини; хід подій життя. Ми часто говоримо: «Доля звела». Чи мож­на це сказати про Майстра та Маргариту?

(Відповіді учнів.)

7. Ви впевнені, що їхня зустріч не залежала від їхньої волі? Вони ж у цей день могли просто не виходити з дому — це ж залежало від них?

(Учні висловлюють власні думки і можуть дійти вис­новку, що доля певною мірою залежить від людини. Учитель відкриває дошку, на якій записано значення слів випадковий, збіг, доля (те, що було з'ясовано про­тягом бесіди), звертає увагу учнів на виділені слова. З цих слів будується своєрідний ланцюг: доля — збіг — ви­падкове поєднання — непередбачено. Звертається увага на перше й останнє слова; учні доходять висновку, що долю, тобто події життя, неможливо передбачити.)

8. Чи погоджуєтеся ви з останнім висновком? (Відповіді учнів.)

9. Чи погоджуються з цим герої роману?

(У бесіді з'ясовуємо, що Воланд — так, Берліоз — ні: людина може спланувати свої вчинки, долю; Маргарита передбачала, що рано чи пізно зус­тріне Майстра.)

10. Варто згадати ще одне поняття: імовірність — можливість здійснення чого-не­будь. Маргарита справді вірила у можливість зустрічі з коханим, але якою була ймовірність того, що вони зустрінуться у багатотисячній Москві?

(Очікувана відповідь: мізерною.)

11. Якою була ймовірність того, що Майстер і Маргарита зустрінуться у багатотисячній Москві та саме в певний день?

(Очікувана відповідь: ще меншою.)

12. А якою була б імовірність цієї зустрічі, якби вони жили на одній вулиці?

(Очікувана відповідь: значно більшою.)

13. Від чого ж залежить імовірність якоїсь події в житті людини?

(Учні доходять висновку: від обставин, ча­сового проміжку, місця події.)

Учитель літератури. Ви спробували висло­вити свої думки відносно порушеного питан­ня і певною мірою думки М.Булгакова, оскіль­ки користувалися прикладами з його роману. Хто з вас правий? Усі, кожний по-своєму, адже у таких випадках не може бути єдиної правиль­ної відповіді. Але у математиці на поставлені запитання є своя відповідь.

II. Вивчення нового матеріалу та первинне закріплення знань.

Учитель математики. Ви вже з'ясували, які події (за словником) називають випадковими. Саме вивченням закономірностей масових ви­падкових подій займається теорія ймовірнос­тей. Як самостійна наука вона виникла в сере­дині XVII ст. Тоді, розглядаючи задачі, що ви­никли у зв'язку з азартними іграми, відомі ма­тематики Б. Паскаль та П. Ферма і запро­вадили поняття теорії ймовірностей. Так було закладено основи нової науки.

Первісним (не означуваним) поняттям тео­рії ймовірностей є поняття події.

Подія — це будь-яке явище, про яке можна сказати, що воно відбувається чи не відбуваєть­ся за певних умов, причому абстрагуючись від конкретної природи самої події.

Позначають події великими латинськими буквами: А, В, С... Будь-яка подія відбувається внаслідок випробування (експерименту, дослі­ду).

Випробування — це умови, в результаті яких відбувається чи не відбувається подія. Випро­буванням може бути: підкидання монети (подія А — «поява герба», подія В — «поява числа»); підкидання грального кубика тощо. Як ви думаєте, чи зможемо ми передбачити результат подій, що весь час повторюються, на­приклад підкидання грального кубика? (Відповіді учнів.)

Завдання 1. Заповнити таблицю 1, відокрем­люючи події та випробування, для такого пе­реліку фактів:

1)   На екзамені випадає білет № 1363.

2)   Будильник, що дістаємо з коробки, бра­кований.

3)   Оглядаємо поштову скриньку і знаходи­мо 4 листи.

4)   Набираючи телефонний номер навман­ня, зв'язуємося із знайомим.

5)   Під час нагрівання дроту збільшилася його довжина.

6)   Після зниження температури вода пере­творилася в лід.

Таблиця 1

№ з	Випробування	Події
1
2
3
4
5
6

Наведіть свої приклади випробувань і подій.

(Учні наводять приклади.)

Учитель математики. Розглянемо, якими можуть бути події.

(Учні під керівництвом учителя дають озна­чення випадкової, вірогідної, неможливої подій.)

Випадковою подією називають подію, що може відбутися або не відбутися під час здій­снення певного випробування.

Проаналізуйте таблицю 1 і виділіть випад­кові події.

(Учні аналізують таблицю та виділяють ви­падкові події.)

Вірогідною називають подію, що внаслідок даного випробування обов'язково відбудеться. Наприклад, поява на грані кубика числа, мен­шого за 7.

Проаналізуйте таблицю 1 та виділіть віро­гідні події.

(Учні аналізують таблицю та виділяють вірогідні події.)

Неможливою називають таку подію, що внас­лідок даного випробування не може відбутися. Наприклад, поява на грані кубика числа, більшого за 7.

Проаналізуйте таблицю 1 та виділіть не­можливі події.

(Учні аналізують таблицю та виділяють не­можливі події.)

Учитель літератури. Перед вами на дошці ще одна таблиця, але вже з прикладами з ро­ману М. Булгакова. Таблиця 2 заповнена част­ково (стовпець «випробування»). Потрібно за­повнити її повністю та визначити вид події, обґрунтовуючи свою думку.

(Стовпець «події» учні заповнюють само­стійно з наступним поясненням до записів.)

У результаті таблиця 2 матиме такий вигляд.

Таблиця 2

№ з/п	Випробування	Події
1	Алюзій Могарич доніс на Майстра	Алюзій отримає квартиру (випадкова подія)
2	Маргарита намазалась дивним кремом, який їй дав Азазелло	Літає (неможлива подія)
3	Ієшуа потрапляє до Крисобоя	Ієшуа поб'ють (вірогідна подія)
4	Маргарита погодилась на пропозицію Воланда	а)      Поверне Майстра; б)      не поверне Майстра; (випадкові події)
5	Поплавський приїхав до Москви	а)      Отримав квартиру; б)      не отримав квартири; (випадкові події)
6	Маргарита щодня ходить вулицями Москви з надією зустріти Майстра	а)      Зустріне Майстра; б)      не зустріне Майстра; (випадкові події)

Учитель літератури. Майже всі названі події відбуваються в романі лише один раз або не відбуваються взагалі. Але чи могли б повто­ритися запропоновані ситуації-випробування?

(Очікувана відповідь: так.)

Учитель математики. Розглянемо це питан­ня з точки зору теорії ймовірностей. У житті є однорідні події, що спостерігаються за певних умов і можуть бути відтворені необмежену кількість разів. Такі події називають масовими. Наведіть приклади масових однорідних подій.

(Учні наводять приклади; наприклад, же­ребкування, стрільба по мішені тощо.)

Прикладом одиничної події є падіння Тун­гуського метеорита. Але теорія ймовірностей вивчає лише масові випадкові події та їх зако­номірності. Часто жеребкування проводиться за допомогою підкидання монети. Перевіримо, чи існує якась закономірність у випаданні «герба» або «числа».

(Проводиться випробування (10 раз), ре­зультати записуються на дошці.)

Учитель математики. Чи можна, виходячи з отриманих результатів, помітити якусь зако­номірність?

(Очікувана відповідь: ні.) Далі учні само­стійно працюють з таблицею 8 (с. 212 підруч­ника: Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубинчук О.С Алгебра і початки аналізу: Підручник для 11 кл. загальноосвітніх навчальних закладів. — К.: Зодіак - ЕКО, 2001р.)

Учитель математики. У якому ж випадку можна встановити закономірність?

(Учні доходять висновку, що лише при ве­ликій кількості випробувань.)

Учитель літератури. Чи можна віднести зустріч Майстра та Маргарити до масових од­норідних подій? Чому?

Зустріч двох незнайомих людей (будь-яких) справді можна відносити до масових однорідних подій. Але масові однорідні події — це не останнє поняття теорії ймо­вірностей, з яким ви ознайомитеся сьо­годні.

Учитель математики. Справді, є ще деякі поняття, що допоможуть нам розв'язувати за­дачі на обчислення ймовірності випадкових подій.

Повною групою подій називають множину подій таких, що в результаті кожного випробу­вання обов'язково повинна відбутися хоча б одна з них.

Наприклад, у випробуванні «підкидання грального кубика» повну групу подій станов­лять такі події:

А	— «поява числа 1»;
А	— «поява числа 2»;
А	— «поява числа 3»;
А	— «поява числа 4»;
А	— «поява числа 5»;
А	— «поява числа 6».

Завдання 2. Чи утворюють повну групу такі події:

а) випробування — підкидання монети;
події:

А_х — «поява герба»,

А₂ — «поява числа»;

б)  випробування — підкидання двох монет;
події:

А₁ — «поява двох гербів»,  А₂ — «поява двох чисел»?

Попарно несумісні події — це події, ніякі дві з яких не можуть відбутися одночасно.

Наприклад, випадання цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при одному підкиданні грального кубика — це шість несумісних подій.

Завдання 3. Чи є несумісними такі події: а) випробування — два постріли по мішені;

події:

С₀ - «жодного попадання»,

С₁ - «одне попадання»,

С₂ - «два попадання»;

б) випробування — витягування двох карт з колоди;

події:

D₀ — «поява двох чорних карт», D₁ — «поява туза», D₃ — «поява дами»?

Рівноможливі події — первісне поняття; це такі події, кожна з яких не має ніяких переваг у появі частіше за іншу під час багаторазових випробувань, що проводяться за однакових умов.

Наприклад, випадання цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при одному підкиданні грального кубика — рівноможливі події.

Завдання 4. Чи є рівноможливими такі події:

а)   випробування — постріл по мішені; події:

С₁ — «попадання»,

С₂ — «промах»;

б)   випробування — підкидання неправиль­ної (зігнутої) монети; події:

А_х — «поява герба»,

А₂ — «поява числа»?

Якщо події:

1) утворюють повну групу подій;

2)  є несумісними;

3)  є рівноможливими,

то вони утворюють простір елементарних по­дій.

Завдання 5. Чи утворюють простір елемен­тарних подій такі події:

а) випробування — підкидання грального кубика;

події:

С₁ — «поява не більше від двох очок», С₂ — «поява трьох або чотирьох очок»,

С₃ — «поява не менше від п'яти очок»;

б)  випробування — витягування двох карт із колоди;

події:

D₁ — «поява двох червоних карт», D₂ — «поява двох чорних карт»?

Завдання 6. Слово «прокуратор» поділити на склади та навмання вибрати один із них. Результат експерименту — запис вибраного складу.

а)   Побудувати простір елементарних подій.

б)  Назвати події, у яких запис вибраного складу містить:

1)  букву к або т (подія А);

2)одну або дві букви (подія В);

3)не більше від трьох букв (подія С);

4)три букви (подія Д);

5)букву р (подія Е).

Ш. Аналіз подій у романі згідно з вивченим ма­теріалом з теорії ймовірностей.

Учитель математики. Розглянемо деякі приклади подій, що відбувалися у романі М. Булгакова, та проаналізуємо їх.

1.   «Страта Ієшуа і страта Варраввана» — повна група подій (хоча б одна з них відбу­деться); вони попарно несумісні (не можуть відбутися разом) та рівноможливі. Отже, дані події утворюють простір елементарних подій.

2.   «Майстер написав роман про Понтія Пілата й Ієшуа. Роман надрукують або не на­друкують» — повна група подій (хоча б одна з них відбудеться); вони попарно несумісні (не можуть відбутися разом), події не можуть бути однаково можливими (адже в СРСР такий ро­ман у той час не надрукували б). Отже, дані події не утворюють простір елементарних подій.

IV. Підсумок уроку.

Учитель літератури. На уроці ми розгляну­ли питання випадковості та ймовірності в ро­мані М. Булгакова «Майстер і Маргарита» з урахуванням теорії ймовірностей.

Учитель математики. Ми почали вивчати основні поняття теорії ймовірностей.

Як підсумок скажіть, що ви розумієте під такими поняттями:

1)  теорія ймовірностей;

2)  подія (випадкова, вірогідна, неможлива);

3)простір елементарних подій.